תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

Transcript

1 תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

2 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 18 בנובמבר עדכונים ותיקונים יופיעו ב-/ לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל- yuvak@gmx.net. סיכומים נוספים בסדרה: אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי אלגברה לינארית 2 חשבון אינפיניטסימלי 2 תורת הקבוצות תורת ההסתברות 1 מבנים אלגבריים

3 תוכן עניינים 1 קבוצות ובנייתן הגדרה "בעיות" בתורת הקבוצות בניות של קבוצות יחסים ופונקציות יחסים פונקציות בניות של פונקציות בניות שקשורות לפונקציות עוצמות השוואת קבוצות קבוצות סופיות קבוצות אינסופיות השערת הרצף חשבון עוצמות אקסיומת הבחירה הלמה של צורן יחסי סדר הלמה של צורן

4

5 1 קבוצות ובנייתן 1 קבוצות ובנייתן 1.1 הגדרה מושג הקבוצה הוא המושג הבסיסי ביותר במתמטיקה, ולכן הוא קשה להגדרה; בשני הזרמים של תורת הקבוצות הנאיבי והאקסיומטי (שבו יש אקסיומטיקה של הדרישות מקבוצות ( 1 אי-אפשר להגדיר קבוצה. הגדרה (ניסיון). קבוצה היא אוסף של עצמים שונים. לא ברור מהו "אוסף" או מהם "עצמים". קבוצה באופן מעשי: b} x X.X = {a, b, c} = {a, a, a, c, b, העצם x שייך לקבוצה ;X x / X העצם x אינו שייך לקבוצה X. עצמים יכולים להיות קבוצות בעצמם. קבוצות מתקבלות גם על-ידי תכונות: אם X קבוצה ו-( x ) T תכונה 2 שתלויה ב- X {x X : T (x)},x היא קבוצת איברי X המקיימים את התכונה (x) T. קבוצות שימושיות: N קבוצת המספרים הטבעיים ({...,3,1},,2 ויש אסכולה שטוענת ש- N Q 0); קבוצת המספרים הרציונאליים; R קבוצת המספרים הממשיים; C קבוצת המספרים המרוכבים. כל טענה אפשר לנסח במונחי קבוצות; למשל, משפט פרמה ינוסח בלשון קבוצות באופן הבא: {(x, y, z, n) : x, y, z, n N, x, y, z > 0, n > 2, x n + y n = z n } = הגדרה. שתי קבוצות Y X, שוות אם הן מכילות בדיוק את אותם איברים; כלומר, לכל x X מתקיים,x Y ולכל x Y מתקיים.x X הגדרה. קבוצה X מוכלת בקבוצה Y אם לכל x X מתקיים.X Y :x Y אם X Y אבל,X Y נסמן.X Y אם קיים x X כך ש- X X Y,x Y לא מוכל ב-.Y יחס ההכלה טרנזיטיבי; כלומר, אם X Y ו- Z Y אז.X Z.Y ו- X X Y אם"ם X = Y.{x} X = x X שוויון הכלה 1.2 בעיות בתורת הקבוצות דוגמה. יהי n המספר הטבעי הקטן ביותר שלא ניתן להביע במאה אותיות בשפה העברית. מספר המשפטים בני עד מאה אותיות בשפה העברית הוא סופי. לכן לא ניתן לתאר כל מספר טבעי על-ידי עד מאה אותיות, ולכן n כנ"ל קיים. מצד שני, n מתואר על-ידי המשפט לעיל, שהוא בן פחות ממאה אותיות. הבעיה, למעשה, היא בכך שהמשפט מתייחס לעצמו (הוא (self referential ואיננו מהווה תיאור אמיתי. 1 המערכת האקסיומטית הסטנדרטית כיום היא אקסיומות צרמלו-פרנקל,ZFC) כאשר C מייצגת את אקסיומת הבחירה Choice.(Axiom of פרנקל היה בין הפרופסורים הראשונים באוניברסיטה העברית. 2 אינטואיטיבית, תכונה היא ביטוי שמקבל ערך true או.false 5

6 1.3 בניות של קבוצות 1 קבוצות ובנייתן תיאור אחר, יותר מתמטי, של הבעיה: נסתכל על {X Y. = X} : X / האם Y? Y אם כן, לפי הגדרת Y נקבל Y. / Y מצד שני, אם Y, / Y לפי הגדרת Y נקבל Y. Y הבעיה היא ש- Y "גדולה מדי": סתירה מתקבלת מהר כשמדברים על "קבוצת כל הקבוצות". אחת הדרכים להתגבר על כך היא לקחת קבוצה U ה"יקום"; כל העצמים שנדבר עליהם יהיו שייכים ל- U, וכל הקבוצות תהיינה תתי-קבוצות של U. זה יפתור את הבעיה, כי אז {X Y = X} U : x / לא תהיה איבר ב- U (אם U לא תרשה זאת). (ב- ZF, אחת האקסיומות דורשת X / X לכל X.) פרדוקס ראסל 1.3 בניות של קבוצות הקבוצה הריקה קבוצה ריקה הגדרה. קבוצה ריקה היא קבוצה שלא מכילה אף איבר. טענה 1: הקבוצה הריקה מוגדרת היטב (יחידה); כלומר, קיימת קבוצה ריקה, ואם Y X, לא מכילות אף איבר, X. = Y (מכאן, נוכל לסמן את הקבוצה הריקה.) הוכחה. אם Y X, לא מכילות אף איבר, אז כל איבר ב- X הוא איבר ב- Y וכל איבר ב- Y הוא איבר ב- X, באופן ריק. לכן X. = Y קיום ניתן להראות על-ידי רשימה ריקה ({} = ) או על-ידי תכונה x}) {x U x =.( לכל קבוצה X,X איחוד וחיתוך קבוצות איחוד אם B,A קבוצות, נגדיר את האיחוד שלהן על-ידי B} A B = {x U x A x ואת חיתוך החיתוך על-ידי B}.A B = {x U x A x תכונות:.1 A A B = B A,A B = B (קומוטטיביות).2 C) (A B) C) = A (B C),(A B) C) = A (B (אסוציאטיביות) A (B C) = (A B) (A C),A (B C) = (A B) (A C).3 (דיסטריביוטיביות) A =,A A = A.4 A = A,A A = A.5 הוכחה ( 2 א ). נניח ש- C.x (A B) אז או x A B או.x C אם,A A B או x A ולכן C) x A (B או x B ולכן x B C ולכן C).x A (B אם.x A (B C) ולכן x B C אז,x C 6

7 1 קבוצות ובנייתן 1.3 בניות של קבוצות אם A 1,..., A n קבוצות, } n,a 1... A n = {x U x A 1... x A } n.a 1... A n = {x U x A 1... x A תכונות דומות מתקיימות הפרש ומשלים משלים הפרש אם A קבוצה, נגדיר את המשלים על-ידי A}.A C = {x U x / אם B,A קבוצות, נגדיר את ההפרש ביניהן על-ידי B}.A \ B = {x A x / תכונות: A \ A =.1 A A C = U.2 A \ B = A B C.3 (A C ) C = A.4 B C A C A B.5 A \ (A \ B) = A B.6 חוקי דה-מורגן.7 C (A B) C = A C B C,(A B) C = A C B (חוקי דה-מורגן) קבוצת החזקה בהינתן A קבוצה, קבוצת החזקה מוגדרת כ-{ A P. (A) = B} U : B אם ב- A יש n קבוצת החזקה איברים, מספר האיברים ב-( A ) P הוא 2. n בהינתן קבוצות A 1,..., A n במצב כללי, כמה קבוצות ניתן לקבל על-ידי חיתוכים, איחודים ולקיחת הפרש? עבור שתי קבוצות,B,A נוכל לקבל,B \ A,A \ B,A B,A B,,B C,A C,U,B,A,(A \ B) C,(A B) C,(A B) C,AΔB = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B).(A B) (A B) C,(B \ A) C עבור שלוש קבוצות, יש פירוק של U ל- 8 "חתיכות" זרות, V; 1,..., V 8 מכל תת-קבוצה של 8},... {1, אפשר להרכיב קבוצה: למשל, 7} {2, 5, = I.V 1 V 5 V 7 } מספר הקבוצות הכולל הוא כמספר תתי-הקבוצות של, , כלומר, = V 1 V2 V 3 V 6 V 7 V 4 V 8 V 5 7

8 1.3 בניות של קבוצות 1 קבוצות ובנייתן V ε1...ε n = A ε1 באופן כללי, אם A 1,..., A n במצב כללי, יש 2 n קבוצות Aεn n... 1 {V ε1...ε n מהווה פירוק } ε1,...,ε n {0,1} האוסף.(A εi i = { A i ε i = 0 A C i ε i,ε = 1 1,..., ε n {0, 1}) של U לקבוצות זרות לא-ריקות. לכל 1}} {0, n I {ε 1,..., ε אפשר להתאים קבוצה.W I = ε V 1,...,ε n I ε 1...ε n האוסף i {0,1}} {W I } I {ε1,...,ε n ε הוא קבוצת כל הקבוצות המתקבלות מ- A 1,..., A n על-ידי חיתוכים, איחודים ומשלימים. W I W J אם.I J מספר הקבוצות הכולל: 2. 2n איחודים וחיתוכים כלשהם בהינתן משפחה I} {A α : α של קבוצות כלומר, I קבוצת אינדקסים ולכל A α α I קבוצה נסמן ב- α α I A את הקבוצה כך ש- α x α I A אם ורק אם קיים a I כך ש-.x A α למשל, אם 2} {1, = I אז α I A α = A 1 A 2. באופן דומה, החיתוך של המשפחה I} α I A α {A α : α הוא הקבוצה כך ש- α x α I A אם ורק אם לכל.x A α a I תכונות: α I X α = γ Γ ( α I γ.1 נניח.{X γ : γ I},I = γ Γ I γ אז מתקיים ) α X (אסוציאטיביות מוכללת).x γ Γ ( α I γ הוכחה. צריך להוכיח ש- α x α I X אם"ם ) α X ( =) אם x α I X α אז קיים α I כך ש-.x X α קיים γ Γ כך ש-,α I γ.x α I γ לכן X α.x α I γ לכן קיים X α כך ש- γ Γ אז קיים x γ Γ ( α I γ (= ) אם ) α X.x α I X α ולכן,x X α כך ש- α I γ. α I X α = γ Γ ( α I γ באופן דומה, ) α X A ( α I B α) = α I (A B α) וכמו-כן,A ( α I B α) = α I (A B α).2 (דיסטריביוטיביות מוכללת) הוכחה. צריך להוכיח ש-( α x A ( α I B אם"ם α).x α I (A B אם ) α x A ( B אז או x A ולכן x A B α לכל,α ולכן ) α x (A B או.x α I (A B α) ולכן α לכל x A B α לכן,α I לכל x B α ואז,x B α להיפך, אם α) x α I (A B אז לכל.x A B α α I אם,x A בוודאי.x A ( B α ) ולכן x α I B α לכן,α לכל x B α אחרת, ;x A ( B α ) הגדרה. קבוצות B,A נקראות זרות אם = B.A באופן כללי יותר, משפחה I} {X α : α נקראת זרה אם לכל X α X β = α β I (כלומר, X α זרים בזוגות). 8

9 1 קבוצות ובנייתן 1.3 בניות של קבוצות מכפלה קרטזית זוג סדור מכפלה קרטזית בקבוצות אין חשיבות לסדר: x}.{x, y} = {y, כדי להגדיר זוג סדור כך ש-( y (x, y) = (x, אם"ם x,y = y,x = נגדיר y}}.(x, y) = {{x}, {x, למה :2 ) y (x, y) = (x, אם"ם x.y = y,x = הוכחה. אם x x = ו- y,y = אז } {x {x} = ו-{ y {x, y} = {x, ולכן ) y.(x, y) = (x, מצד שני, אם }} y {{x}, {x, y}} = {{x }, {x, אז y}} {x} {{x}, {x, ולכן מתקיים או } {x {x} = או } y.{x} = {x, במקרה הראשון, x ;x = במקרה השני, x x = (כי {x} קבוצה בעלת איבר אחד). מכאן שמתקיים }} y,{{x}, {x, y}} = {{x}, {x, לכן.y = y ולכן {x, y} = {x, y } בהינתן.X Y = {(x, y) : x X, y Y },Y,X דוגמה. R R המישור האוקלידי; Z Z R R קבוצת הנקודות השריג במישור; d] [a, b] [c, מלבן במישור; >0 R R חצי המישור העליון; R >3 R חצי-מישור ימני. כדי להגדיר מכפלה קרטזית סופית, נגדיר n -ייה סדורה כך ש-( (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n אם"ם x i = y i לכל,i = 1... n ואז יתקיים } i.x 1... X n = {(x 1,..., x n ) x i X יש לשים לב שטכנית, הקבוצות Z) (X Y ) Z,X (Y ו- Z X Y אינן זהות. תכונות: X (Y Z) = (X Y ) (X Z).1 X (Y Z) = (X Y ) (X Z).2 Y = או X = X Y =.3.4 אם,Y Y,X X אז X Y X Y 9

10 2 יחסים ופונקציות 2 יחסים ופונקציות 2.1 יחסים הגדרה יחס תחום טווח הגדרה. יחס בין X ל- Y הוא תת-קבוצה של X. Y (אם X, = Y נאמר שהיחס הוא יחס על.(x, y) R אם"ם xry יחס, נסמן R X Y אם (.X הגדרה. תחום של יחס.X D(S) = {x X : y Y : xsy} :S אם,D(S) = X נאמר ש- S הוא יחס מ- X ל- Y. הגדרה. טווח של יחס.Y R(S) = {y Y : x X : xsy} :S אם,R(S) = X נאמר ש- S הוא יחס בין X על Y. דוגמה. X {(x, x) : x X} X == (אלכסון) } 2 {(x, y) R 2 : x y z R y x = z = (מתחת האלכסון) R = {(m, n) Z 2 : מתחלק ב- 7 m n} R = {(A, B) P ({1,..., n}) : A B R = {(m, A) {1,..., n} P ({1,..., n}) : m A} יחסי שקילות יחס רפלקסיבי יחס סימטרי יחס טרנזיטיבי יחס שקילות הגדרה. יחס R על X נקרא יחס רפלקסיבי אם, לכל.xRx x, X הגדרה. יחס R על X נקרא יחס סימטרי אם, לכל.xRy yrx,x, y X הגדרה. יחס R על X נקרא יחס טרנזיטיבי אם, לכל.xRz = yrz,xry,x, y, z X הגדרה. יחס R על X נקרא יחס שקילות אם הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. דוגמה. יחס השוויון X} R = {(x, x) : x הוא יחס שקילות. היחס המלא R = X X הוא יחס שקילות. היחס הריק = R הוא סימטרי וטרניזיטיבי, אבל לא רפלקסיבי. היחס } 2 {(x, y) R 2 : z R y x = z = טרנזיטיבי ורפלקסיבי, אבל לא סימטרי. (כנ"ל לגבי יחס ההכלה ב-({ n P.),1})..., 10

11 2.1 יחסים 2 יחסים ופונקציות היחס על } A P ({1,..., n}) \ { } = {A {1,..., n} : המוגדר על-ידי,n רפלקסיבי וסימטרי, אך לא טרנזיטיבי. (אם 4 R = {(A, B) : A B } 2} {1, =,A A B,C = {3, 4},B = {2, 3} ו- C,B אך (.A C = היחס n} m מתחלק ב- 7 R = {(m, n) Z 2 : הוא יחס שקילות. הוכחה. לכל n n = 0,n Z מתחלק ב- 7 (היחס רפלקסיבי.) אם m n מתחלק ב- 7, כך גם n) n m = (m (היחס סימטרי.) אם y z = 7b,x y = 7a אז b) x z = (x y) + (y z) = 7(a + (היחס טרנזיטיבי.) הגדרה. אם R יחס שקילות על X, מחלקת השקילות של x X כלשהו מוגדרת כקבוצה.T = [x] = {y X : xry} X הגדרה. קבוצה { } \ (X) T P נקראת חלוקה של X אם מתקיימים (א) A ; A T (ב) ;X = T = A T A (ג) = B. A, B T A B = A מחלקת שקילות חלוקה טענה 3: אם R יחס שקילות, אז {X [x]} : x מהווה חלוקה של X. הוכחה. [x] x, בגלל רפלקסיביות R; כלומר, כל [x] כל איבר ב- T הוא תת-קבוצה לא-ריקה של X. צ"ל כי = [y] [x] אם [y].[x] נניח בשלילה שיש [y] z [x] ונראה ש-[ y ].[x] = אז.yRz,xRz בגלל הסימטריות,.zRx בגלל הטרנזיטיביות,.yRz zrx = yrx כעת,.[y] [x] באופן דומה,.z [y] לכן,yRz אז yrx xrz אם ;xrz אז z [x] אם :[x] [y]. [x] = X = x [x] להיפך, בהינתן חלוקה T של X ניתן להגדיר יחס A} :R = {(x, y) : A T x, y טענה 4: R הוא יחס שקילות. הוכחה. רפלקסיביות: T ) x X A T : x A מכסה את כל.(X לכן.xRx סימטריות: R סימטורי באופן ברור (שייכות לקבוצה היא ללא סדר). טרנזיטיביות: נניח.yRz xry אז קיימות B, A T כך ש- A.y, z B,x, y לכן.xRz = x, z A = A = B = A B = y A B מנה על-ידי יחס ושוב, לכל :[x] = {y X : B T x, y B} = A,(x X) x A T אם B T כך ש- B x אז A = B (אחרת = B A). כלומר, כל מחלקת שקילות היא איבר בחלוקה, וכל איבר בחלוקה הוא מחלקת שקילות. כל חלוקה מתקבלת על-ידי מחלקות שקילות של יחס שקילות וכל יחס שקילות מתקבל על-ידי חלוקה. נסמן את המנה של X ע"י R ב-{ X X/R = [x]} : x (זו החלוקה לפי יחס השקילות). אם שני איברים ב- X/R שווים, הם מחלקות שקילות של איברים שקולים ב- R. 11

12 2 יחסים ופונקציות 2.2 פונקציות דוגמה. מסתכלים ביחס השקילות 7h}.R = {(m, n) Z : h Zm n = יש שבע מחלקות שקילות: [6]} [5], [4], [3], [2], [1], {[0], =.Z/R דוגמה (בניית השלמים מתוך הטבעיים). נסתכל על N N ונגדיר עליה יחס שקילות על-ידי.(a, b) (c, d) a + d = b + c ניתן לבדוק ש- הוא יחס שקילות, וניתן לחשוב על מחלקות השקילות בתור המספרים השלמים 1)] + 1, [(n n = [(1, n)],n = 1 3 לכל n. N 4 (באותו אופן ניתן להגדיר את המספרים הרציונאליים מתוך המספרים השלמים או הטבעיים.) 2.2 פונקציות הגדרה. פונקציה f מ- X ל- Y היא יחס בין X ל- Y שמקיים. x X!y Y (x, y) f (אם,(x, y) f מסמנים f(x) (.y = פונקציה דוגמה. לכל קבוצה X יש id X : X X המוגדרת על-ידי X} ;id X = {(x, x) : x כלומר,. x X id X (x) = x דוגמה. ל- X A תת-קבוצה ניתן להגדיר פונקציה ι : A X כך ש- a a A ι(a) = על-ידי.ι = {(a, a) : a A} A X דוגמה (העתקת המנה). אם R יחס שקילות על X, העתקת המנה f : X X/R מוגדרת על-ידי f.f = {(x, A) : x A} X X/R היא פונקציה כי כל איבר נמצא במחלקת שקילות אחת ויחידה. (יכולנו להגדיר פונקציה דומה לכל חלוקה שהיא.) להיפך, בהינתן פונקציה,f : X Y אפשר להגדיר יחס שקילות כך ש- x 1 x 2 ) 2.f(x 1 ) = f(x קל לבדוק שזה יחס שקילות ושכל יחס שקילות אפשר להגדיר על-ידי פונקציה (פונקצית המנה). הגדרה. פונקציה f : X Y נקראת על Y אם. y Y x X f(x) = y הגדרה. פונקציה f נקראת חד-חד ערכית אם f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 (או, באופן שקול, אם ) 2.( x 1 x 2 f(x 1 ) f(x הגדרה. פונקציה f : X Y שהיא חד-חד ערכית ועל נקראת התאמה בין X ל- Y X, Y. נקראות שקולות אם קיימת התאמה ביניהן; אומרים של- X ול- Y יש אותה עוצמה. פונקציה על פונקציה חד-חד ערכית התאמה קבוצות שקולות תמורה הגדרה. תמורה (של X) היא התאמה מ- X לעצמו. 5 דוגמה. n} ;X = {1,..., מספר התמורות הוא.n! 3 נעיר כי k)]. k N [(n + 1, 1)] = [(n + k, k)], [(1, n)] = [(1 + k, n + 4 למשל,.}.. 2)], [(2, 1)], {[(1, = 1 = 1,0.}.. 2)], [(4, 1)], {[(3, =.2 למעשה, אוסף הזוגות הסדורים.z מזוהה עם המספר a b = z כך ש- Z (a, b) 5 מההגדרה ומטענות שמיד נוכיח נובע שאם f תמורה, גם 1 f תמורה; אם g f, תמורות, גם g f תמורה. כמו-כן, נעיר שפונקצית הזהות id X היא תמורה. 12

13 2 יחסים ופונקציות 2.3 בניות של פונקציות 2.3 בניות של פונקציות הרכבת פונקציות בהינתן יחס R בין X ל- Y ויחס S בין Y ל- Z, נגדיר את ההרכבה שלהם S R באופן הבא.S R = {(x, z) X Z : y Y (x, y) R (y, z) S} טענה 5: אם f פונקציה מ- X ל- g Y, פונקציה מ- Y ל- Z, אז g f היא פונקציה מ- X ל- Z. הוכחה. קיום: לכל x X קיים y Y כך ש- f,(x, y) כי f פונקציה. קיים z Z כך ש- g,(y, z) כי g פונקציה. לכן,(x, z) g f לפי הגדרת ההרכבה. יחידות: אם,(x 1, z 1 ), (x 2, z 2 ) g f אז קיימים y 1, y 2 Y עבורם,(x 1, y 1 ) f y 1 = גם y 2 פונקציה, מכך ש- f,x 1 = אם x 2.(y 2, z 2 ) g,(x 2, y 2 ) f,(y 1, z 1 ) g ואז, מכך ש- g פונקציה,.z 1 = z 2 צמצום של פונקציה הרחבה של פונקציה דוגמה. נניח f : X Y פונקציה, A X תת-קבוצה. ι A (x) = x,ι A : A X לכל,x A העתקת שיכון. g = f A = f ι A : A Y הצמצום של f ל- A.g הרחבה של היא אומרים ש- f.( x A f A (x) = f(x)) תכונות:.1 בהינתן (h g) f = h (g f),h : Z W,g : Y Z,f : X Y 6 (אסוציאטיביות) הוכחה. = f)(x)) ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g (h (g f))(x).2 אם g : Y Z,f : X Y חח"ע, אז גם g f : X Z חח"ע..3 אם g : Y Z,f : X Y על, אז גם g f : X Z על. מתכונות אלה נובע שאם X Y ו- Z Y אז גם X Z (כלומר, יש התאמה ביניהם) הפונקציה ההופכית בהינתן יחס R בין X ל-,Y ניתן להגדיר R בין Y ל- X,.R = {(y, x) Y X : (x, y) R} דוגמה. אם R יחס על R = R,X אם"ם R סימטרי. טענה 6: תהי f : X Y פונקציה. אז f היא פונקציה מ- Y ל- X אם"ם f חח"ע ועל. הוכחה. f f y Y x X (y, x) היא על. f y Y, x 1, x 2 X (y, x 1 ), (y, x 2 ) f = x 1 = x 2 חח"ע.. x X f 1 (x) = f 2 (x) אם"ם f 1 = f

14 2.4 בניות שקשורות לפונקציות 2 יחסים ופונקציות אם f : X Y התאמה, נסמן ב- X f 1 : Y את הפונקציה f המתאימה ליחס ההפוך. נשים לב ש- y ;x = f 1 (y) f(x) = כלומר, ) f (y, x) f 1 (x, y) (. תכונות:.1 אם X Y גם Y X.2 אם f : X Y היא התאמה, f f 1 = id Y,f 1 f = id X (g f) 1 = f 1 g 1.3 הרבה פעמים יש שקילות "טבעית" בין קבוצות שונות. למשל: X Y Y X.1 טענה 7: X Y Z (X Y ) Z X (Y Z).2 הוכחה..1 נגדיר f : X Y Y X כך ש-( x.f((x, y)) = (y, כלומר, נגדיר } 1.f = {((x 1, y 1 ), (y 2, x 2 )) : x 1, x 2 X, y 1, y 2 Y, y 2 = y 1, x 2 = x קל לבדוק שזו התאמה. הפונקציה ההפוכה לה היא g : Y X X Y המוגדרת על-ידי.g(y, x) = (x, y).2 ההתאמות הן z)).(z Z,y Y,x X) (x, y, z) ((x, y), z) (x, (y, בניות שקשורות לפונקציות 2.4 אוסף הפונקציות בהינתן קבוצות,Y,X מסמנים את אוסף הפונקציות מ- X ל- Y ב-= } Y Y X = {f : X.{f X Y : x X!y Y (x, y) f}.1 = X (אם X אחרת, { } = ( טענה :8 (X Y ) Z X Z Y Z.2 (X Y ) Z X Y Z.3 הוכחה. 1. ברור..2 נבנה Ψ : X Z Y Z (X Y ) Z על-ידי (f, g) X Z Y Z כלומר,,f : Z X,Ψ(f, g) : Z X Y הגדרנו.Ψ((f, g))(z) = (f(z), g(z)),z Z,g : Z Y כלומר.Ψ : X Z Y Z (X Y ) Z צריך לבדוק ש- Ψ היא חח"ע ועל. נניח ש-((.Ψ((f 1, g 1 )) = Ψ((f 2, g 2 אז מתקיים ))(z) Ψ((f 1, g 1 ))(z) = Ψ((f 2, g 2 לכל ;z Z כלומר, (z)).(f 1 (z), g 1 (z)) = (f 2 (z), g 2 לכן, לכל f 1 (z) = f 2 (z),z ו-( z ).g 1 (z) = g 2 מכאן,.(f 1, g 1 ) = (f 2, g 2 ) g 1 g 2,f 1 f 2 14

15 2 יחסים ופונקציות 2.4 בניות שקשורות לפונקציות נסתכל על ההעתקות π 2 : X Y Y,π 1 : X Y X המוגדרות על-ידי.π 2 ((x, y)) = y,π 1 ((x, y)) = x בהינתן,F : Z X Y נסתכל על ההרכבות Ψ(f, g)(z) = נציב ונקבל.g = π 2 F : Z Y,f = π 1 F : Z X (z).(f(z), g(z)) = ((π 1 F )(z), (π 2 F )(z)) = F 7 (כלומר, לכל איבר בטווח יש מקור; הפונקציה ההפוכה ל- Ψ היא T : (X Y ) Z X Z Y Z המוגדרת על-ידי (.T (F ) = (π 1 F, π 2 F ).3 צריך למצוא התאמה כך ש- X.f : Z X Y h : Y Z נסתכל על ההעתקות (f(z))(y) h(y, z) = וההפוכה לה z).(f(z))(y) = h(y, קל לראות שהפונקציות הן הפוכות מכפלה קרטזית כללית ואקסיומת הבחירה בהינתן {I X} α : α קבוצה של קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן היא X α := {f : I X α : α I f(α) X α } ( X α ) I α I α I α I מכפלה קרטזית כללית כלומר, איברי α I X α הם "רשימות" (x α ) α I כך ש- x α X α הוא האיבר בקואורדינטה.α I דוגמה. } 2 i=1,2 X i = {f : {1, 2} X 1 X 2 : f(1) X 1, f(2) X (כאשר (.X 1 X 2 מתאים ל- (זה.(I = {1, 2} דוגמה. אם X α = X לכל,α I אז α I X α = X I. אקסיומת הבחירה ברור שאם קיים α I כך ש- = α X אז = α α I X. פחות ברור (אך אינטואיטיבי) שאם,I X α לכל,α I אז α α I X. העובדה הזו נקראת אקסיומת הבחירה. 8 טענה :9 ) α α I X α) Z α I (XZ ( הוכחה. ההתאמה היא ) α,ψ(f) : I α I XZ α,ψ : ( α I X α) Z α I (XZ.(f(z) α I X α) (Ψ(f)(α))(z) = f(z)(α) X α בניית הפונקציה ההפוכה כתרגיל הטלות I} {X α : α קבוצות,.J I אפשר להגדיר P r J : α I X α α J X α על-ידי.(f α I X α) P r J (f) = f J α I X α 7 לכל.a = (π 1 (a), π 2 (a)),a X Y 8 הכוונה לכך שצריך לבחור איבר מכל קבוצה על-מנת לקבל קבוצה. באקסיומטיקה מניחים קיום של איחודים, קבוצות חזקה וכו כאן דורשים שהקבוצה לא תהיה ריקה, וזה דבר שונה. מסתבר שנובעות מאקסיומת הבחירה מסקנות מפתיעות כמו פרדוקס בנך-טרסקי. 15

16 2.4 בניות שקשורות לפונקציות 2 יחסים ופונקציות ברור שאם f : I α I X α כך ש- f(α) X α לכל,α I אז g = f J (כלומר g(α) X α,(g : J α J X α לכל.α J מאקסיומת הבחירה נובע ש- P r j הן על אם. α I X α התמונה הישרה וההפוכה בהינתן,f : X Y אפשר להסתכל על הטווח של f כלומר, הקבוצה := X} {f(x) : x.y על, הטווח הוא f אם.{y Y : x X f(x) = y} באופן כללי, לכל A, X הטווח של f A התמונה של A על-ידי f מסומן על-ידי A}.f(A) = {f(x) : x למעשה, כך קיבלנו פונקציה ) (Y, 9 f : P (X) P שנקראת תמונה ישרה התמונה הישרה (או התמונה) של f. תכונות: f( ) =.1 X משפחת תתי-קבוצות של {X α : α I} לכל f( α I X α) = α I f(x α).2.3 α) f( α I X α) α I f(x (שוויון אם f חח"ע).4 f(b) f(a \ B) f(a) \ (שוויון אם f חח"ע) בדומה, לכל פונקציה מוגדרת התמונה ההפוכה (X) f 1 : P (Y ) P על-ידי = (B) f 1.f זהות לשל f התאמה, התמונה הישרה וההפוכה של 1 f אם.{x X : f(x) B} X התמונה ההפוכה תכונות: f 1 ( ) =.1 f 1 (Y ) = X,f 1 ( α I Y α) = α I f 1 (Y α ).2 f 1 ( α I Y α) = α I f 1 (Y α ).3 f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B).4 B Y לכל f(f 1 (B)) B ;A X לכל f 1 (f(a)) A טענה 10: התכונות הבאות של התאמות שקולות:.1 Y f : X חח"ע.2 ) (Y f : P (X) P חח"ע.3 (X) f 1 : P (Y ) P על 9 נעיר שזהו סימון זהה לפונקציה שונה. 16

17 2 יחסים ופונקציות 2.4 בניות שקשורות לפונקציות A A = f 1 (f(a)).4.5 לכל f g,g : Z X קבועה = g קבועה הוכחה. (5 =1) אם f g קבועה, אז )) f(g(z. z, z Z f(g(z)) = בגלל ש- f חח"ע, ) g(z g = g(z) = קבועה. (1 =5) אם f לא חח"ע, קיימים x x X כך ש-( f(x.f(x) = נגדיר g : {0, 1} X ע"י,g(1) = x,g(0) = x ואז g(1) f g(0) = f אבל g לא קבועה. (3,2 =4) ברור, כי (X).f 1 f = id P (X),f 1 f : P (X) P זו פונקציה חח"ע, לכן f חח"ע ו- 1 f על. (1= 4) תרגיל. (1 =2) אם x x כך ש-( f(x,f(x) = אז f({x}),f({x, x }) = {f(x)} = לכן ) (Y f : P (X) P לא חח"ע. (1 =3) אם x x כך ש-( f(x,{x} = f 1 (B),f(x) = אז f(x) B ולכן,f(x ) B ומכאן (B).x f 1 לכן נקבל x x = סתירה. כלומר, x לא נמצא בתמונה ההפוכה, ולכן היא לא על. 17

18 3 עוצמות 3 עוצמות 3.1 השוואת קבוצות על-פי הגדרה, (X X Y שקולה ל- Y) אם קיימת התאמה f. : X Y היינו רוצים להגדיר התאמה מקבוצת כל הקבוצות ל"עוצמות" כך ש-. X = Y X Y מתי קיים אי-שוויון? למשל, מתי Y X? יש שתי הגדרות אפשריות:.1 קיימת תת-קבוצה B Y כך ש- B ;X כלומר, קיימת פונקציה חח"ע.f : X Y 2. קיימת פונקציה מ- Y ל- X שהיא על. טענה 11: הגדרות אלה שקולות. הוכחה. (1 =2) נניח כי g : Y X על. נראה שקיימת f כך ש-.g f = id X נסתכל על ({x}) x X g 1 (לפי אקסיומת הבחירה: g על, לכן לכל.(g 1 ({x}) x נוכל לבחור ({x}) f x X g 1 כלומר, פונקציה = ({x}) f : X x X g 1 = g על (X) g 1 ( x X {x}) = g 1 עבורה מתקיים ({x}). x X f(x) g 1 אז Y.(g f)(x) = g(f(x)) = x נעיר כי אם X X ו- Y Y אז Y : X Y X אם יש התאמות g Φ f 1 : X Y חח"ע נוכל לבנות Φ : X Y בהינתן,g : Y Y,f : X X חח"ע, ולהיפך. כמו-כן, Z : X Z = X Y אם f : X Y ו- Z g : Y חח"ע, הרכבתן g f : X Z חח"ע. יש כמה שאלות שעולות מההגדרה:.1 האם אם Y X ו- X Y אז Y? X = (כן; ר משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין.).2 האם, בהינתן X ו-,Y תמיד Y X או X? Y (כן, בהינתן אקסיומת הבחירה.) 3. האם, בהינתן X, תמיד קיים Y כך ש- X? < Y (כן; ר משפט קנטור). 4. האם קיימת מערכת נציגים לעוצמות? כלומר, האם קיימת "קבוצה" C כך שלכל קבוצה X קיים A C יחיד כך ש- A X? = (כן, בהינתן אקסיומת הבחירה.) משפט 12 (קנטור): (X) X < P הוכחה. ברור ש- ( X ) : X P נוכל להגדיר (X) f : X P על-ידי (X),f(x) = {x} P וזוהי פונקציה חח"ע. נראה כי (X) X = P כלומר, נראה שלא קיימת (X) f : X P על. נניח בשלילה שקיימת f כזו. נסתכל על f(x)}.a = {x X : x / מכיוון ש- f על, ) 0. x 0 X A = f(x האם?x 0 A אם כן, לפי הגדרת A נקבל x 0 / f(x 0 ) = A סתירה. אם לא, לפי הגדרת,A ) 0 x 0 / A = f(x ולכן x A סתירה. מכאן, f לא על. 18

19 3.1 השוואת קבוצות 3 עוצמות 1 x A = (x).f (A) = X A עבור דוגמה. נגדיר F : P (X) {0, 1} X על-ידי 0 x / A X, = N סדרות של אפסים ואחדים= P. (N),0} {1 N נניח שיש לנו סדרה של סדרות של אפסים ואחדים,..., 2.f(n) = ε n 1, ε n נגדיר סדרה... 2, x = ^ε 1 1, ^ε 2 כאשר.^ε n n = 1 ε n n וכך f(n) x לכל n, כי אין סדרה שאיבריה זהים. לכן f לא על מצאנו איבר שלא בתמונה (כמו קודם, למעשה בנינו אותה קבוצה). באותו אופן אפשר להוכיח ש- N > [1,0]. משפט 13 (קנטור-שרדר-ברנשטיין): אם Y X ו- X Y אז Y. X = הוכחה. תהיינה g : Y X,f : X Y חח"ע. בהינתן A X כך ש- X\A,g(Y \f(a)) = f(x) x A X. = Y ועל, ואז חח"ע קל לראות ש- h.h(x) = נגדיר (g Y \f(a) ) 1 (x) x / A נותר למצוא A כזאת. נגדיר (X) Φ : P (X) P על-ידי f(a)).φ(a) = X \ g(y \ אנו בעצם מחפשים נקודת-שבת של A X) Φ כך ש- A Φ(A) = כלומר, f(a)),a = X \ g(y \ תנאי ששקול לכך ש- A.(g(Y \ f(a)) = X \ נשים לב ש- Φ מונוטונית: Φ(B) Φ(A) אם.A B למה :1.13 לכל פונקציה מונוטונית (X) Φ : P (X) P קיימת נקודת שבת (X).D P הוכחה. נגדיר (X) B ) B = {A P (X) : A Φ(A)} P כי B,( ונגדיר.D = B = {A : A Φ(A)} = {x X : A X x A Φ(A)} X נראה שזו נקודת שבת. ( ) נראה שלכל A B מתקיים Φ(D).A אם A B אז Φ(A) A וגם.A D לכן, ממונוטוניות.A Φ(A) Φ(D),Φ לכן Φ(D).D ( ) מכיוון ש-( Φ(D,D מתקיים.D B ממונוטוניות Φ(D) Φ(Φ(D)),Φ ולכן.Φ(D) D אז.Φ(D) B בסך-הכל קיבלנו ש- D,Φ(D) = כנדרש. 10 לכן קיימת A כך ש- A.g(Y \ f(a)) = X \ מסקנה 14: בהינתן Y X, קבוצות, מתקיימת לכל היותר אחת משלוש האפשרויות הבאות:. X > Y ; X < Y ; X = Y הוכחה. לפי הגדרה, לא ייתכן ששוויון מתקיים יחד עם אחד מאי-השוויונים. נניח בשלילה ש- X < Y וגם Y ; X > אז Y X וגם Y, X ומהמשפט נקבל Y, X = בסתירה לכך שמתקיים אי-שוויון בדיעבד, גילינו ש- B D; כלומר, יכולנו לבחור את הקבוצה המקסימלית מתוך B, במקום האיחוד. אבל לא ידענו זאת מראש. 11 בהמשך נראה שבדיוק אחת מהאפשרויות מתקיימת: כלומר, Y X או Y. X 19

20 3 עוצמות 3.2 קבוצות סופיות.x x a b a דוגמה..1 1] [0, b],(a < b) [a, על-ידי העתקה 2. קבוצת הטבעיים שקולה לקבוצת הטבעיים הזוגיים: n. 2n.x tan x :( π 2, π 2 ) R.3.x log x :(0, ) R קבוצות סופיות הגדרה. נגדיר n} N n = {1,..., לכל.n N קבוצה A נקראת סופית אם קיים n N כך ש-.A N n קבוצה סופית טענה 15: n N אינה שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש של עצמה. הוכחה. אחרת, קיימת f : N n N n חח"ע ולא על. נראה באינדוקציה שאם f : N n N n חח"ע אז היא על. עבור = 1 n, f היא בהכרח פונקציית הזהות. כעת, נניח שהטענה מתקיימת עבור 1 n. עבור,f Nn 1 : N n 1 N n 1 חח"ע, מכיוון ש- f,f(n) = n חח"ע. אם f : N n N n תהי,n האינדוקציה, הצמצום הוא על. אחרת,.f(n) = k < n נגדיר t : N n N n על-ידי ומהנחת i i k, n,t t = id Nn.t(i) = n i = k לכן t חח"ע ועל. נגדיר g.g = t f חח"ע כך k i = n ש- n.g(n) = t(k) = אז לפי המקרה הקודם, g היא על, ולכן f = t g היא על. כמו-כן, כל פונקציה f : N n N n על היא חח"ע: נגדיר פונקציה g : N n N n על-ידי.g(i) = min f(j)=i j ברור ש- g חח"ע, כי.f g = id Nn מהטענה הקודמת נובע ש- g על, ולכן 1 g.f = f g g 1 = (f g) g 1 = id Nn g 1 = אז גם 1 g f = חח"ע. מסקנה 16: קבוצה סופית אינה שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש של עצמה. הוכחה. הטענה שקולה לכך שאם A סופית, f : A A חח"ע אז f על. אם g : N n A חח"ע ועל, אז g 1 f g חח"ע. לפי הטענה הקדומת, היא גם על, לכן 1 g f = g (g 1 f g) על. באותו אופן, אם A סופית ו- A f : A על, f חח"ע. מסקנה :17 אם N n N m אז.n = m הוכחה. אחרת, אם למשל,m < n אז,N n N m N n בסתירה לטענה הקודמת. טענה 18: כל תת-קבוצה של N n היא סופית. 20

21 3.3 קבוצות אינסופיות 3 עוצמות הוכחה. באינדוקציה על.n עבור = 1,n תת-קבוצה של N 1 היא 12 או N 1 שתיהן סופיות. כעת, נניח שהטענה מתקיימת עבור 1.n עבור,n תהי.J N n אם n / J אז n 1,J N הנחת האינדוקציה, ולפי הנחת האינדוקציה, J סופית. אחרת, n J ו- n 1.J \ {n} N לפי f(x) x n x (כאשר J \ {n} N m סופית. אז m+1,j N על-ידי העתקה m + 1 x = n f : J \ {n} N m חח"ע ועל). מסקנה 19: תת-קבוצה של קבוצה סופית היא סופית. הוכחה. אם A סופית, קיימת f : A N n שקילות. עבור.f(B) N n,b A לפי הטענה, f(b) סופית. f(b) B, לכן B סופית (יחס השקילות טרנזיטיבי). טענה :20 אם B,A סופיות, אז A B,A B סופיות. הוכחה. A B = A B A סופית. A) A B = A (B \ ו- = A).A (B \ אז אפשר להניח, בלי הגבלת הכלליות, עם שקילויות g,f בהתאמה. אז A B N n+m ש- =.A B במקרה זה, B N m,a N n f(x) x A.h(x) = על-ידי שקילות h, כאשר g(x) + n x B 1. איחוד סופי של קבוצות סופיות הוא סופי. טענה 21: 2. מכפלה קרטזית סופית של קבוצות סופיות היא סופית. 3. קבוצת החזקה של קבוצה סופית היא סופית. הוכחה. 1. באינדוקציה..2 באינדוקציה. מספיק להראות עבור :A B עבור קבוצות סופיות,B N m,a N n מתקיים.A B N n N m N n+m.p (A) P (N n ) N 2 n אז A N n קבוצות אינסופיות הגדרה. קבוצה A היא אינסופית אם היא לא סופית; כלומר, לכל A. N n n, N 13 קבוצה אינסופית דוגמה. N היא אינסופית: היא שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש שלה למשל, הטבעיים הזוגיים (בסתירה לטענה קודמת). = N 0 סופית אם A סופית, A N n עבור n יחיד, ונוכל לסמן A = N n = n מספר האיברים ב- A. 21

22 3 עוצמות 3.3 קבוצות אינסופיות טענה :22 אם X אינסופית אז N. X כלומר, קיימת f : N X חח"ע. הוכחה. נבנה באינדוקציה סדרה 1=n a} n } של איברים שונים ב- X. עבור = 1 :n,x אז קיים.a 1 X אם n 1 a 1,..., a הוגדרו ושונים אחד מהשני, } n 1 X {a 1,..., a (כי אחרת X סופית). לכן קיים } n 1.a n X \ {a 1,..., a במילים אחרות, N היא הקבוצה האינסופית הקטנה ביותר, עד-כדי שקילות. מסקנה 23: X סופית X לא שקולה לתת-קבוצה-ממש של עצמה. הוכחה. (= ) זו מסקנה 16. f : N X חח"ע. נסמן f(n),a = ונגדיר ( =) נניח בשלילה ש- X אינסופית. תהי x x / A =.g(x) g חח"ע, אבל g לא על, כי (1)f לא g : X X על-ידי f(n + 1) x = f(n) מתקבל. אז {(1)f} X, X \ בסתירה לכך ש- X אינה שקולה לתת-קבוצה חלקית-ממש שלה. לסיכום: כל תת-קבוצה של קבוצה סופית היא סופית. 2. (שקול ל- 1 ) כל קבוצה שמכילה קבוצה אינסופית היא אינסופית..3 N אינסופית. 4. בכל קבוצה אינסופית קיימת סדרה אינסופית של איברים שונים 1=n x}. n } הגדרה. קבוצה X תיקרא בת-מניה אם N X. = מסתכלים על שקילות קבוצות כעל יחס שקילות על "קבוצת כל הקבוצות"; מקלחות השקילות נקראות עוצמות (קרדינלים). מסמנים N. = ℵ 0 אז קבוצה היא בת-מניה עוצמתה ℵ. 0 טענה.1 :24 אם X בת-מניה, Y X אינסופית, אז Y בת-מניה. קבוצה בת-מניה עוצמה 2. אם X אינסופית וכל Y X אינסופית שקולה ל- X, אז X בת-מניה. הוכחה. למעשה, טענות אלה ממחישות את זה שהקבוצות בנות-המניה הן הקבוצות האינסופיות הקטנות ביותר.. Y X = ℵ 0.1 מצד שני, Y אינסופית אז. Y ℵ 0 לכן, ממשפט קנטור-ברנשטיין, Y = ℵ 0 כלומר, Y בת-מניה. 2. מכיוון ש- X אינסופית, קיימת סדרה x} n } 1=n X של איברים שונים. כלומר, יש Y X בת-מניה. לפי ההנחה, Y, X = ולכן X בת-מניה. 22

23 3.3 קבוצות אינסופיות 3 עוצמות טענה 25: אם A ו- B בנות-מניה, אז גם A B בת-מניה. הוכחה. A B אינסופית, ולכן. A B ℵ 0 מצד שני, נראה ש- A B ℵ 0 כלומר, שקיימת f : N A B על: נניח ש- A f 2 : N B,f 1 : N התאמות. נגדיר f 1 (n) n = 2m =.f(n) f מוגדרת היטב והיא על. לכן, ממשפט קנטור-ברנשטיין, f 2 (n) n = 2m + 1. A B = ℵ 0 גם בת-מניה. טענה :26 אם n=1 {A n } סדרה של קבוצות בנות-מניה, אז n=1 A n הוכחה. תהיינה f n : N A n התאמות. הראינו בתרגיל שקיימת התאמה ;g : N N N כלומר, יש (n)),g(n) = (g 1 (n), g 2 כאשר g 1, g 2 : N N ולכל זוג (n 1, n 2 ) N N קיים n N כך ש-( n ).n 2 = g 2 (n),n 1 = g 1 אז נגדיר (n)).f(n) = f g1(n)(g 2 קיבלנו פונקציה.f : N n=1 A n,x קיים n 1 N כך ש-.x A n1 מכיוון ש- f n1 על, קיים n=1 A n על: אם f n 2 N כך ש-(.x = f n1 (n 2 מתכונות,g קיים n N כך ש- g 1 (n) = n 1 ו-,g 2 (n) = n 2 ואז.f(n) = f g1(n)(g 2 (n)) = f n1 (n 2 ) = x בת-מניה או סופית. טענה :27 אם A n סופיות, n=1 A n הוכחה. נניח 1 n A n = k (אפשר להתעלם מקבוצות ריקות). נניח ש- g n : N kn A n.m n = k k n = n כל x N ניתן להציג באופן יחיד על-ידי התאמה. נסמן i=1 k i { 14.0 k < k n+1 ו- n N כך ש-{ 0 } x = m n + k נגדיר n+1.g(x) = g n+1 (k + 1) x = m n + k, 0 k < k הפונקציה g היא על, כי 15.(1 k m n ) g n (k) = g(m n 1 + k 1) לסיכום, אם A היא קבוצה סופית או בת-מניה של קבוצות סופיות או בנות-מניה, A סופי או בן-מניה:, A ℵ 0 אז יש f : N A על. f(n) A = n N ; ומהטענה הקודמת, סופית או בת-מניה. n=1 f(n) טענה 28: אם A קבוצה של מרווחים (קטעים פתוחים) ב- R שהם זרים בזוגות, A סופית או בת-מניה. X x X A =.f(x) f היא על, כי בכל הוכחה. נגדיר } 0 f : Q A {x על-ידי / x x 0 A רווח A קיים מספר רציונאלי (מצפיפות Q ב- R ). A A {x 0 } Q = ℵ 0 = מסקנה 29: אם f : R R פונקציה מונוטונית, קבוצת נקודות אי הרציפות שלה X היא סופית או בת-מניה. 14 נבחר את ה- n המקסימלי עבורו,m n x ואז n+1 x m n < k אחרת,m n+1 x בסתירה למקסימליות.n 15 למעשה, g עוברת על הסדרות הסופיות לפי הסדר. 23

24 3 עוצמות 3.3 קבוצות אינסופיות הוכחה.,X = X 1 X 2 כאשר מגדירים f(x)} X 1 = {x X : lim y x + f(y) > ו-{( f(x.x 2 = {x X : lim y x f(y) < נסתכל על } 1.A = {(f(x 0), f(x)) : x X 2 } {(f(x), f(x + 0)) : x X 16 זוהי קבוצה של מרווחים זרים בזוגות: אם, בלי הגבלת הכלליות, x 1 < x 2 ו-( 0 +,f(x 1 ) < y < f(x 1 0),f(x 2 ) < y < f(x 2 + ממונוטוניות f נקבל ;y < f(x 1 + 0) f(x 2 ) < y ובאופן דומה, לא ייתכן ) 1 f(x 1 0) < y < f(x ו-( f(x 2 0) < y < f(x 2 או ) 1 f(x 1 0) < y < f(x ו-( 0.f(x 2 ) < y < f(x 2 + אז מהמסקנה, A בת-מניה; לכן גם X בת-מניה. דרך אחרת: נסמן R}.A = {(f(x 0), f(x + 0)) : x זהו אוסף מרווחים זרים בזוגות, כי אם 0) f(x 1 0) < y < f(x 1 + ו-( 0 f(x 2 0) < y < f(x 2 + עבור,x 1 < x 2 אז ממונוטוניות y < f(x 1 + 0) f(x 2 0) < y סתירה. לכן A סופית או בת-מניה, ולכן קבוצת נקודות אי-הרציפות של,{x R : f(x 0) < f(x + 0)},f היא קבוצה סופית או בת-מניה. עם זאת, יש פונקציות מונוטוניות שקבוצות נקודות אי-הגזירות שלהן אינה בת-מניה. אם B,A בנות-מניה, גם A B בת-מניה. אם g : N B,f : N A התאמות, נגדיר f g : N N A B על-ידי g(n)).(f g)(m, n) = (f(m), זוהי התאמה. לכן. A B = N N = ℵ 0 כעת ניתן להמשיך באינדוקציה: אם A 1,..., A n בנות-מניה, אז A 1... A n בת-מניה. = N 1} {0, קבוצת הסדרות n=1 עם זאת, מכפלה בת-מניה אינה בהכרח בת-מניה: {1,0} של ספרות בינאריות שקולה ל-( N ) P; לפי משפט קנטור, P, (N) > ℵ 0 ולכן קבוצה זו אינה בת-מניה. טענה 30: קבוצת תתי-הקבוצות הסופיות של קבוצה בת-מניה היא בת-מניה. = (X),P f כאשר הוכחה. נגדיר } 0.P f (X) = {A X : A < ℵ כלומר, n(x) n=1 P X n בת-מניה. נגדיר התאמה מ- P n מספיק להוכיח ש-.P n (X) = {A X : A = n} ל-( X ) 1 k n P n(x) = P n כך ש-{ X n.(x 1,..., x n ) {x 1,..., x n היא מכפלה סופית של קבוצות בנות-מניה, לכן בת-מניה; לכן (X) P n בת-מניה. הגדרה. מספר X נקרא מספר אלגברי אם קיימים מספרים רציונאלים a 1,..., a n Q כך ש- 0 = n.x n + a 1 x n a מספר אלגברי דוגמה. 2 הוא מספר אלגברי זהו פתרון של = 0 2 x. 2 לכן לא כל מספר אלגברי הוא רציונאלי. טענה 31: קבוצת המספרים האלגבריים היא בת-מניה. 16 הכוונה היא ל-( f(y,f(x 0) = lim y x ובאופן דומה עבור 0) +.f(x 24

25 3.3 קבוצות אינסופיות 3 עוצמות הוכחה. לכל,a 1,..., a n Q קבוצת הפתרונות של הפולינום = 0 n x n + a 1 x n a כך ש- Q a 1,..., a n סופית. לכן קבוצת המספרים האלגבריים A = {x R : x n + a 1 x n a n = 0} n=1 a 1,...,a n Q היא איחוד בן-מניה של איחוד בן-מניה של קבוצות סופיות, שהוא בן-מניה F ((ε n ) n=1) = ε n הפונקציה F היא חח"ע: n=1 טענה 32: N C, 2 כאשר C 2 היא קבוצת הסדרות העולות ב- N. f N N g(n) = n i=1 הוכחה. f(i) g(1) n = 1 g C 2 f(n) = g(n) g(n 1) n > 1 טענה 33: R אינה בת-מניה. 3 הוכחה. נוכיח ש- R {2 N,0}. נגדיר n δ n 3 = ε n n n=1 3 אם 2} {0, 1, n,ε n n, δ אם ורק אם ε n = δ n לכל,n או שקיים m כך n=1 שעבור,ε n = δ n n < m ו- 0 = n.δ m = ε m + 1, n > m ε n = 2, δ במקרה זה, = 1 m δ או = 1 m ε לכן השמטנו את הערך 17.1 בפרט,. R {0, 2} N > ℵ 0 לכן R אינה בת-מניה. התמונה של F כפי שהגודרה בהוכחה הקודמת היא קבוצת המספרים הממשיים ב-[ 1,0] שעבורם קיים פיתוח (לפי בסיס 3) ללא הספרה 1 זוהי קבוצת קנטור: היא מתקבלת אם מכל קטע מורידים את השליש האמצעי. נסמן ב- C n את הקבוצה שנשארת לאחר n איטרציות. C n היא איחוד זר של 2 n קטעים קבוצת קנטור פונקציית קנטור 1+n. 1 C מתקבלת על-ידי ניתוק השליש האמצעי מכל קטע ב- C, n ומתקבלת סגורים באורך 3 n = C קבוצת קנטור. המידה של C n היא )n 3,( 2 והמידה של C היא אפס (כי n=1 C n.(( 2 3 )n ) 0 ניתן לבנות פונקציה רציפה ומונוטונית g :,0] [1 R כך שקבוצת הנקודות בה g אינה גזירה היא קבוצת קנטור. פונקציה זו נקראת פונקציית קנטור. עוצמת הרצף נסמן R = ℵ עוצמת הרצף. טענה 34: קבוצת הסדרות של מספרים ממשיים, R, N היא מעוצמת הרצף. הוכחה. הראינו ש- R 1} N.{0, לכן מספיק להראות ש- 1} N ) N R N.({0, הראינו ש- 1} N ) N {0, 1} N N,({0, אבל N N N ולכן 1} N {0, 1} N N,{0, ו-.R {0, 1} N לכן.R N R טענה 35: קבוצת הפונקציות הממשיות הרציפות C היא מעוצמת הרצף. 17 בעצם מדובר על ייצוג, בבסיס,3 כ ו

26 3 עוצמות 3.4 השערת הרצף הוכחה. נגדיר R : C R Q על-ידי R.R(f) = f Q חח"ע, כי אם ) 2,R(f 1 ) = R(f כלומר,f 1 Q = f 2 Q אז = 0 Q.(f 1 f 2 ) זוהי פונקציה רציפה שהצמצום שלה לקבוצה צפופה הוא,0 ולכן 0 1 f 2 f כלומר,.f 1 = f 2 אז. C < R Q = R N = ℵ הכיוון השני ברור. משפט :36 נניח ש- n=1 {y n } n=1,{x n } סדרות ב- R.[a, b] ל-{ {x n ול-{ {y n יש אותן נקודות הצטברות אם"ם קיימת פרמוטציה π : N N כך ש- 0 π(n).x n y הוכחה. (= ) תהי x נקודת הצטברות של } n {x כלומר, לכל > 0 ε קיים n כך ש- ε. x n x < יהי > 0 ε ויהי N כך ש- 2 x n y π(n) < ε לכל.n > N קיים n > N כך ש-. x n x < ε 2 אז, y π(n) x < ε ו- x נקודת הצטברות של } π(n).{y באופן סימטרי, כל נקודת הצטברות של } n y} היא נקודת הצטברות של } n x}. ( =) נראה שקיימת σ : N N מונוטונית עולה כך ש- 0 σ(n).x n y זה מספיק כי מסימטריה נוכל למצוא τ : N N מונוטונית עולה כך ש- 0 τ(n),y n x ואז π : N N משפט ההשוואה). נגדיר (לפי τ(n \ σ(m)) = N קיימת M N כך ש- M \ σ(n) n M =,π(n) ונקבל π חח"ע ועל. נשים לב ש- 0 π(n),x n y כי על-ידי τ 1 (n) n / M 0 σ(n) x n y לכל n (ובפרט עבור (n M ו- 0 (n) x n y τ 1 עבור.n M כלומר, שתי תתי הסדרות שואפות לאפס, לכן הסדרה כולה שואפת לאפס. לכן π כנדרש. נותר להראות שקיימת σ כנ"ל. נגדיר כזו באינדוקציה. נגדיר = 1.σ(1) אם <... < σ(1) σ(k) הוגדרו, נגדיר (1 + σ(k כך שיתקיים x k+1 y σ(k+1) < inf i>σ(k) x k+1 y i + 1 k נראה ש- 0 σ(n) :x n y נניח בשלילה שקיים > 0 ε כך שקיימת סדרה... < 2 k 1 < k j > σ(k i ) לכל,k i > 2 ε עבור. x k i כך ש- ε y σ(ki) ε x ki y σ(ki) < x ki y j + 1 k j < x ki y j + ε 2 ולכן. x ki y j ε 2 נניח, בלי הגבלת הכלליות, x. ki x 18 נראה שלא קיימת תת-סדררה של y שמתכנסת ל- x, בסתירה להנחה. קיים n גדול כרצוננו כך ש- 4. x kn x < ε אז עבור כל ) n j σ(k מתקיים.{y n } לא נקודת-גבול של x לכן. x y i x kn y j x kn x > ε 4 18 קיימת תת-סדרה מתכנסת של } ki x} ש- x הוא הגבול שלה; נעבור אליה במקרה הצורך. 26

27 3.4 השערת הרצף 3 עוצמות 3.4 השערת הרצף האם קיימת עוצמה בין ℵ 0 ל- ℵ? על-פי השערת הרצף, לא. כלומר, כל קבוצה אינסופית שאינה בת-מניה מכילה עותק חח"ע של ℵ 0 N היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. בניסוח כללי יותר (השערת הרצף הכללית): אם Y קבוצה כך ש- X Y, > מתקיים (X) Y. P 19 בפרט, כל קבוצה אינסופית שאינה בת-מניה היא מעוצמת הרצף לפחות. גדל,(Gödel) בשנות ה , הוכיח שאם תורת הקבוצות קונסיסטנטית, קיים מודל לתורת הקבוצות בו השערת הרצף הכללית נכונה. לעומת זאת, כהן,(Cohen) בשנות ה- 60, הוכיח שאם תורת הקבוצות קונסיסטנטית, אז קיים מודל שבו השערת הרצף אינה מתקיימת כלומר, קיימת עוצמה ℵ 1 כך ש-.ℵ 0 < ℵ 1 < 2 ℵ0 השערת הרצף 3.5 חשבון עוצמות חיבור עוצמות חיבור עוצמות אם λ,κ עוצמות,, Y = λ, X = κ היינו רוצים שיתקיים Y,λ + κ = X כאשר Y,X זרות. זה מוגדר היטב, כי תמיד קיימות Y X, זרות כנ"ל (כי {0} X ו-{ 1 } Y זרות ובעלות אותה עוצמה כמו X ו-,(Y ואם X Y = Y, X = כאשר Y,X זרות ו-,X Y זרות, אז אם X g : Y Y,f : X התאמות, נגדיר Y h : X Y X : X Y = X Y f(z) z X.h(z) = על-ידי g(z) z Y עבור עוצמות סופיות, החיבור הוא הפעולה הרגילה של החיבור. אולם לגבי קבוצות אינסופיות אין זה כך: ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 (כלומר, איחוד קבוצות בנות-מניה הוא בן-מניה), וכן.ℵ + ℵ 0 = ℵ כלומר, עבור עוצמות אינסופיות, :λ + λ = λ לכן, עבור λ אינסופית, κ).λ + κ = max(λ, תכונות החיבור: κ + λ = λ + κ.1 (λ + κ) + γ = λ + (κ + γ).2 λ 1 + κ 1 λ 2 + κ 2 = κ 1 κ 2,λ 1 λ 2.3 (0 = ) λ + 0 = λ.4 ההוכחה נובעת מיידית מתכונות האיחוד. באופן כללי, אפשר להגדיר את הסכום i I κ i עבור משפחה κ} i } i I של עוצמות באופן הבא: {i}) i I κ i = i I (κ i. למשל, n N ℵ 0 = ℵ 0 (על-פי טענה.(26 19 נזכיר כי משפט קנטור מוכיח ש- X. 2 X = P (X) > 27

28 3 עוצמות 3.5 חשבון עוצמות לגבי חיסור, לא ברור, למשל, מהו ;ℵ 0 \ ℵ 0 מתקיים = N,N \ אך {1} = {1}) \ (N N \ ו- 2N N \ זו קבוצת הטבעיים אי-זוגיים. לכן פעולת החיסור לא מוגדרת היטב. לעומת זאת, אם. X \ Y = X אז, X ℵ 0 ו- X > Y כפל עוצמות כפל עוצמות אם, Y = κ, X = λ נגדיר Y.λ κ = X זה מוגדר היטב, כי אם X : X Y = X Y, Y = Y, X = אם X g : Y Y,f : X התאמות, הפונקציה Y f g : X Y X המוגדרת על-ידי g(x)) (f g)(x, y) = (f(x), היא התאמה. עבור עוצמות סופיות, זה משקף את פעולת הכפל הרגילה. אך.ℵ ℵ = ℵ,ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 כלומר, באופן כללי, עבור λ אינסופית, κ).λ κ = max(λ, עוצמה של משפחה מוגדרת על-ידי i i I x i = x. למשל, אם x i = λ לכל i I ו- κ κ λ = λκ, I =. תכונות דומות לתכונות החיבור מתקיימות עבור הכפל: λ κ = κ λ.1 (λ κ) γ = λ (κ γ).2 ( { } = 1) λ 1 = λ.3 λ 1 κ 1 λ 2 κ 2 = κ 1 κ 2,λ 1 λ 2.4 λ (κ 1 + κ 2 ) = λ κ 1 + λ κ 2.5 λ i I κ i = i I λ κ i.6 λ κ1+κ2 = λ κ1 λ κ2.7 (( i I λ i) κ = λ κ i ) λκ1 κ2 = (λ κ1 ) κ2.8 (λ 1 + λ 2 ) κ = λ κ 1 + λ κ 2.9 X Y = X Y.10 ההוכחה נובעת מיידית מתכונות המכפלה הקרטזית. דוגמה. קב הסדרות הממשיות: R N = ℵ ℵ0 = (2 ℵ0 ) ℵ0 = 2 ℵ0 ℵ0 = 2 ℵ0 = ℵ ℵ ℵ0 0 = 2 ℵ0 = 2 ℵ0 N N = ℵ ℵ0 קב הסדרות הטבעיות: (2 ℵ0 ) ℵ0 0 קב הפונקציות הממשיות: R R = ℵ ℵ = (2 ℵ0 ) ℵ = 2 ℵ0 ℵ = 2 ℵ (קב הפונקציות הממשיות הרציפות:,ℵ < 2 ℵ על-פי טענה (35 28

29 4 אקסיומת הבחירה 4 אקסיומת הבחירה קיימים מספר ניסוחים שקולים לאקסיומת הבחירה: אקסיומת הבחירה.1 לכל קבוצה X קיימת פונקציה f : P (X) \ { } X כך שלכל = A X מתקיים F. (A) A (פונקציה כזו נקראת פונקציית בחירה של X.).2 לכל קבוצה {A α } α I של קבוצות לא-ריקות קיימת f : I A α כך ש- f(α) A α לכל.α I.3 α α I A עבור משפחה {A α } α I של קבוצות לא-ריקות. 4. לכל יחס R בין X ל- Y יש תת-יחס עם אותו תחום שהוא פונקציה. 5. לכל משפחה A} α } α I של קבוצות זרות-הדדית ולא-ריקות קיימת קבוצה B כך שלכל α I מתקיים = 1 α. B A (כלומר, לכל יחס שקילות יש קבוצת נציגים.).6 לכל f : X Y חח"ע קיימת g : Y X כך ש-.g f = id X.7 לכל f : X Y על קיימת g : Y X כך ש-.f g = id Y הוכחה. בקצרה: 1) (2 ניקח F,X = α I A α פונקציית בחירה של,{A α } α I P (X) \ { }.X לכן.f(A α ) = F (A α ) A α מקיימת f = F {Aα} α I : {A α } α I X 2) (3 לפי הגדרה. 3) (4 נגדיר xry}.a x = {y Y : נסמן ב- D את התחום: } x.d = {x X : A נסתכל על x D A x.{a x } x D ; כלומר, קיימת f : D x D A x Y כך ש- ;f(x) A x כלומר,.xRf(x) לכן.f R 4) (5 יהי R היחס בין I ל- α α I A המוגדר על-ידי αrx אם.x A x כלומר, היחס הוא.α I לכל A α כי,D(R) = I התחום הוא.R = {(α, x) : α I, x A α } תהי.f R כלומר, f(α) A α לכל.α I נסמן f(i).b = אז {f(α)} :B A α = ברור; מצד שני, אם f(β) B A α עבור,α β אז = α.f(β) A β A { }\(X) A}. {{A} A P זוהי קבוצה של קבוצות זרות ולא-ריקות. 5) (1 בהינתן,X נסתכל על תהי B קבוצת נציגים; כלומר, = 1 {A}). B (A נגדיר F : P (X) \ { } X על-ידי {A}).{(F (A), A)} = B (A כלומר, B}.F = {(A, x) : (x, A). B (A {A}) = היא אכן פונקציה, מכיוון ש- 1 F (P (X) \ { }) X 29

30 5 הלמה של צורן 5 הלמה של צורן 5.1 יחסי סדר סדר חלקי יחס-סדר חלקי הגדרה. R נקרא יחס-סדר חלקי אם R הוא יחס על X כך ש-.1 (רפלקסיביות) xrx לכל ;x X.2 (אנטי-סימטריות) xry ו- yrx ;x = y =.3 (טרנזיטיביות) xry yrz = xrz לכל.x, y, z X דוגמה. על.R,Z,N.m = l כך ש- n l N קיים :N על n m.p (X) על A B יחס ההרחבה של פונקציות מתתי-קבוצות של A לקבוצה Z הוא יחס-סדר חלקי (על הקבוצה Z} X = {(f, B) : B A, f : B נגדיר ש-( (f 2, B 2 מרחיבה את.(f 2 B1 = f 1 ו- B 1 אם B 2 (f 1, B 1 ) קבוצה סדורה-חלקית הגדרה. קבוצה עם יחס-סדר חלקי ( ) נקראת קבוצה סדורה-חלקית סדר טוב הגדרה. איברים,x y בקבוצה סדורה-חלקית (,X) נקראים ניתנים להשוואה אם x y או y x קבוצה סדורה-לינארית הגדרה. קבוצה סדורה-חלקית נקראת קבוצה סדורה-לינארית אם כל שני איברים בה ניתנים להשוואה. (במקרה זה, יחס הסדר נקרא יחס-סדר לינארי.) דוגמה. מהדוגמה הקודמת, היחס על R Z, N, הוא יחס-סדר לינארי; השאר לא. יחס-סדר מושרה הגדרה. אם (,X) קבוצה סדורה-חלקית ו- X Y, יחס-הסדר המושרה של Y הוא היחס המוגדר על-ידי y 1 y 2 ב- y 1 y 2 Y ב- X. 20 שרשרת הגדרה. שרשרת בקבוצה סדורה-חלקית (,X) היא תת-קבוצה Y X כך שהיחס המושרה על Y הוא יחס-סדר לינארי. 20 תכונות יחס-הסדר החלקי נשמרות, לכן זהו יחס-סדר חלקי של Y. 30

31 5 הלמה של צורן 5.1 יחסי סדר דוגמה. אם X קבוצה סדורה-לינארית, כל תת-קבוצה של X היא שרשרת. הקבוצה.}.. 25, {1, 5, = n=0 {5 n } היא שרשרת עם יחס-הסדר.n m איבר ראשון איבר אחרון איבר מינימלי הגדרה. איבר ראשון בקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 0 X כך שלכל x, X.x 0 x איבר ראשון יחיד, אם קיים : 21 אם x 0 ו- 0 x איברים ראשונים, x 0 x 0 ו- ;x 0 x 0 אז מאנטי-סימטריות,.x 0 = x 0 איבר אחרון מוגדר באופן דומה. הגדרה. איבר מינימלי בקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 0 X כך שלכל x, X אם.x = אז x 0 x x 0 ברור שאיבר ראשון הוא איבר מינימלי; בקבוצה סדורה-לינארית, איבר מינימלי הוא איבר ראשון, ולכן יחיד, אם קיים. דוגמה. בקבוצה N עם יחס-הסדר n, m 1 הוא איבר ראשון. ב-{ N\{1 X = עם יחס-הסדר המושרה אין איבר ראשון, אבל כל המספרים הראשוניים הם איברים מינימליים. איבר מקסימלי מוגדר באופן דומה. איבר מקסימלי הגדרה. חסם מלעיל של תת-קבוצה Y X בקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 0 X חסם מלעיל (ממש) כך שלכל.y x 0,y Y אם y < x 0 לכל x 0,y Y הוא חסם מלעיל ממש. לא בהכרח קיים חסם מלעיל. חסם מלרע (ממש) מוגדר באופן דומה. הגדרה. חסם עליון של Y הוא איבר x 0 X שמהווה חסם מלעיל כך שלכל חסם מלעיל x של Y מתקיים.x 0 X חסם עליון יחיד, אם קיים. חסם תחתון מוגדר באופן דומה. הגדרה. עוקב מיידי של איבר x 0 בבקבוצה סדורה-חלקית (,X) הוא איבר x 1 X כך ש- x 0 < x 1 ולכל x 0 < y מתקיים.x 1 y חסם מלרע (ממש) חסם עליון חסם תחתון עוקב מיידי יחד, אם קיים. הגדרה. קבוצה סדורה-היטב היא קבוצה סדורה-חלקית כך שלכל תת-קבוצה לא-ריקה יש איבר ראשון, ביחס הסדר המושרה. קבוצה סדורה-היטב 21 לא חייב להיות קיים איבר כזה, אפילו בקבוצה סדורה-לינארית למשל, ב- Z. 31

32 5.1 יחסי סדר 5 הלמה של צורן דוגמה. N עם יחס-הסדר הרגיל. גם { } N n < ) N = לכל (n N סדורה היטב: אם N A, אז או N A והאיבר הראשון של A N הוא האיבר הראשון של A. ו- הוא האיבר הראשון של A = { } או A, האם קיימת קבוצה סדורה-היטב שאינה בת-מניה? כן, בהינתן אקסיומת הבחירה. דוגמה. ב-( (X),,(P הוא איבר ראשון. אך אם > 1, X ב-( { }, \ (X) (P אין איבר ראשון, ולכל {x} x, X איבר מינימלי. קבוצה סדורה-היטב היא קבוצה סדורה-לינארית: אם (,X) קבוצה סדורה-היטב, לכל,x, y X ל-{ y {x, יש איבר ראשון, לכן או x y או.y x ההיפך אינו נכון למשל, [1,0] = X קבוצה סדורה-לינארית; לכל תת-קבוצה יש חסם תחתון, אך הוא אינו בהכרח שייך > 1 2 x A = {x : אין איבר ראשון. אליה. לדוגמה, ל- X } רישא הגדרה. הרישא של x X בקבוצה סדורה-חלקית ) (X, היא x}.s(x) = {y X : y < מהווה חסם עליון ל-( S(x.) (x הגדרה. אם ) X (Y, Y ),(X, קבוצות סדורות-חלקית, פונקציה f : X Y נקראת שומרת f : X Y יש (Y, Y ),(X, X ) אם בין.f(x 1 ) Y סדר אם f(x 2 ) = x 1 X x 2 פונקציה שומרת-סדר קבוצות איזומורפיות שומרת-סדר חח"ע ועל וגם f 1 : Y X שומרת סדר, הן נקראות איזומורפיות. בין קבוצות סדורה-לינארית, מספיק לדרוש ש- f : X Y שומרת-סדר חח"ע ועל: אם y 1 y 2 ב-,Y אז x 1 = f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) = x 2 ב- X : אחרת, x 2 x 1 (מכך ש- X סדורה לינארית, איברים אלה ניתנים להשוואה), ולכן = y 1 = y 2 = y 2 = f(x 2 ) f(x 1 ) = y 1.x 1 = x 2 טענה :37 אם ) (X, קבוצה סדורה-היטב ו- X f : X שומרת-סדר חח"ע, אז f(x) x לכל.x X הוכחה. נניח בשלילה שלא. נגדיר x} X 0 = {x X 0 : f(x) <. יהי x 0 האיבר הראשון של.X 0 לכל,f(x 0 ) < x 0.f(y) y,y < x 0 לכן בפרט ) 0.f(f(x 0 )) f(x אך f שומרת סדר, לכן f(f(x 0 )) < f(x 0 ) = f(x 0 ) < x 0 סתירה. מסקנה 38: אם (,X),,Y) ( קבוצות סדורות-היטב איזומורפיות, האיזומורפיזם ביניהן יחיד. 1 f שומרת-סדר חח"ע ועל. הוכחה. אם f 1, f 2 : X Y איזומורפיזמים, f 1 : X X 2 1 f לכל,x X ולכן (x) f 1 (x) f 2 לכל.x X באופן סימטרי, מהטענה, f 1 (x) x 2.f 1 אז f 2.x X לכל f 2 (x) f 1 (x) מסקנה :39 אם ) (X, קבוצה סדורה-היטב ו- X,x 0 אז ) 0 S(x אינה איזומורפית ל- X אבל קבוצה סדורה-היטב יכולה להיות איזומורפית לתת-קבוצה חלקית-ממש שלה: למשל, N איזומורפית ל- 2N. 32

33 5 הלמה של צורן 5.1 יחסי סדר הוכחה. אחרת קיימת ) 0 f : X S(x חח"ע (ועל) שומרת-סדר. מהטענה, ;f(x 0 ) x 0 לכן ) 0,f(x 0 ) / S(x בסתירה. מסקנה 40: שתי רישות שונות בקבוצה סדורה-היטב (,X) אינן איזומורפיות. הוכחה. עבור שתי רישות ) 1,S(x 2 ),S(x נניח בלי הגבלת הכלליות.x 1 < x 2 אז ) 1 S(x היא רישא ב-( S(x 2 ) ;S(x 2 קבוצה סדורה-היטב, 23 לכן לפי המסקנה הקודמת ) 1.S(x 2 ) S(x משפט :41 כל שתי קבוצות סדורות-היטב ) X (Y, Y ),(X, ניתנות להשוואה. כלומר, בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות מתקיימת: (א) ;X Y (ב) קיים x 0 X כך ש-( ;Y S X (x 0 (ג) קיים y 0 Y כך ש-(.X S Y (y 0 הוכחה. ממסקנה 39, לא ייתכן שאפשרות א מתקיימת יחד עם אפשרות ב או ג. נניח שאפשרויות ב וג מתקיימות. אם ) 0 f : Y S X x) איזומורפיזם, אז הצמצום )) 0 f SY (y 0): S Y (y 0 ) S X (f(x איזומורפיזם (כתרגיל). על-ידי הרכבה, נקבל איזומורפיזם בין X לרישא שלו בסתירה למסקנה 39. נותר להראות שאחת האפשרויות מתקיימת. נסתכל על (y)}.x 0 = {x X : y Y : S X (x) S Y נגדיר פונקציה f : X 0 Y על-ידי f(x) = y אם (y).s X (x) S Y מכיוון ששתי רישות שונות אינן איזומורפיות, זוהי פונקציה. נראה ש-( f(x 0 רישא של,Y או f(x 0 ) = Y ו- X 0 רישא של X או.X 0 = X למה 1.41: תת-קבוצה A X של קבוצה סדורה-היטב היא רישא לכל x A ולכל.y A מתקיים y < כך ש- x y X הוכחה. ) ( ברור. ) ( נגדיר A),x 0 = min(x \ ואז ) 0.A = S X (x אם ;y A,y < x 0 אחרת,,y X \ A בסתירה למינימליות.x 0 מצד שני, אם y A ו-,y x 0 מההנחה נקבל.y S X (x 0 ) כלומר,y < לכן x 0 בסתירה להגדרת.x 0,x 0 A נראה שאם x 1 X 0 ו- x < x 1 אז.x X 0 אם (y) g : S X (x 1 ) S Y איזומורפיזם, אז (g(x)) g SX (y): S X (x) S Y איזומורפיזם, ולכן.x X 0 מהלמה, X 0 = X או,y = f(x) (אם y 1 f(x 0 ) אז y 1 < ו- y y f(x 0 ) באותו אופן, אם ;X 0 = S X (x) g gx (g 1 (y 1)): S X g 1 (y 1 )) S Y (y 1 ) איזומורפיזם, g : S X (x) S Y (y) אז x X 0 איזומורפיזם, ולכן.(f(X 0 ) f(g 1 (y 1 )) = y 1 לכן או ש- f(x 0 ) = Y או שקיים y 0 Y כך ש-(.f(X 0 ) = S Y (y 0 נראה ש-( f : X 0 f(x 0 איזומורפיזם. יודעים ש- f שומרת-סדר ועל. אם X 0 = X אז X איזומורפית לרישא של Y או ל- Y, כי היא איזומורפית ל-(.f(X 0 אם.X או רישא של X שהיא או,X 0 איזומורפית ל- Y,f(X 0 ) = Y.y 0 Y,x 0 X עבור Y 0 = f(x האפשרות הנוספת היא ) 0 = S Y (y 0 ),X 0 = S X (x ) 0 f(x) x x 0 =.g(x) אז g איזומורפיזם. או g : X על-ידי נגדיר } 0 {x 0 } Y 0 {y 0 x = x 0 y 0 23 כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה-היטב היא קבוצה סדורה-היטב ביחס המושרה. 33

34 5.2 הלמה של צורן 5 הלמה של צורן ש-{ Y = Y 0 {y 0 או ש-{ Y 0 {y 0 רישא ב-,Y או ש-{ X = X 0 {x 0 או ש-{ X 0 {x 0 רישא ב- X. אם } 0 S Y (y 1 ) = Y 0 {y ו-{,S X (x 1 ) = X 0 {x 0 אז ) 1 S X (x 1 ) S Y (y ולכן = x 1 X 0 סתירה לכך ש-.x 1 > x 0 / X 0 לכן או ש- X X 0 {x 0 } = והיא איזומורפית ל-{,Y 0 {y 0 או ש- Y 0 {y 0 } = Y והיא איזומורפית ל-{.X 0 {x הלמה של צורן הלמה של צורן הלמה של צורן. תהי (,X) קבוצה סדורה-חלקית שאינה ריקה. אם לכל שרשרת קיים חסם מלעיל ב- X, אז ל- X קיים איבר מקסימלי. משפט 42: הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה. הוכחה. ( ) תהי X קבוצה לא-ריקה. נסתכל על F, קבוצת הזוגות (f,a) כך ש- X A ו- f היא פונקציית בחירה של A כלומר, f : P (A) \ { } A כך ש- B f(b) לכל,A 1 אם A 2 (A 1, f 1 ) (A 2, f 2 ) סדר חלקי על-ידי F נגדיר על.B P (X) \ { },F קל לראות שזה סדר חלקי..B A 1 כך ש- B לכל A 2 F 2 (B) = F 1 (B A 1 ) מכיוון ש-.(f 0 : ) (, f 0 ) F 24 נראה שלכל שרשרת יש חסם מלעיל. נניח ש-{ I A)} α, f α ) : α היא שרשרת; נגדיר f(a) = f α (A A α ) A A α A על-ידי f : P (B) \ { } B,B = α I A α B) (A A α, A זה מוגדר היטב כי קיים α כך ש- α,a A ואם A A β A, A α בה"כ מתקיים ) β (A α, f α ) (A β, f (אלו איברי שרשרת) ואז.(B, f) F לכן.( A α A A β A) f α (A α A) = f β (A β A) נבדוק ש-( f.(a α, f α ) (B, ראשית,.A α B אם C A α,c B אז לפי הגדרה, ) α.f(c) = f α (C A (למעשה, f) (B, הוא חסם עליון של השרשרת.) כעת, מהלמה של אחרת, קיים ;x 0 X \ A 0 נגדיר צורן, קיים איבר מקסימלי ) 0 (A 0, f ב-.F נראה ש- X :A 0 = f 0 (B A 0 ) B {x 0 }. B A לכל f(b) =,A = A 0 על-ידי x 0 (A, f) F x 0 B = {x 0 } ברור ש-( f,(a 0, f 0 ) < (A, בסתירה למקסימליות ) 0.(A 0, f ( ) תהי (,X) קבוצה סדורה-חלקית. נסתכל על C קבוצת כל השרשראות ב- X. C. נניח בשלילה שלא קיים איבר מקסימלי אבל לכל שרשרת יש חסם מלעיל. כלומר, לכל שרשרת c יש חסם מלעיל ממש. לכל c C נתסכל על קבוצת החסמים-מלעיל-ממש y}.a c = {x X : y C x > מאקסיומת הבחירה, יש פונקציה f : C X כך ש- y f(c) > לכל y. c המטרה היא להגדיר שרשרת באמצעות f. 24 קיימת (ויחידה) פונקציה. כאן גם יכולנו להסתכל על קבוצה שבה איבר בודד. 34

35 5 הלמה של צורן 5.2 הלמה של צורן נאמר שקבוצה A קונפורמית (ביחס ל- f ) אם היא סדורה היטב (ובפרט A) C כך שלכל.f(S A (x)) = x (S A (x) = {y A : y < x}) x A נראה שקיימת קבוצה קונפורמית מקסימלית ;A 0 נקבל סתירה, כי )} 0 A = A 0 {f(a קבוצה קונפורמית יותר גדולה (כי,S A (f(a 0 )) = A 0 אבל ) 0 f(a גדול מכל האיברים): נראה שהקבוצות הקונפורמיות מהוות שרשרת ביחס ליחס של רישא ) 2 C 1 C אם C 1 רישא של C). 2 כלומר, אם C 2 C, 1 קונפורמיות, נראה שאחת היא רישא של השנייה. נקבל שאיחוד הקבוצות הקונפורמיות ב- C קבוצה סדורה-היטב. קל להראות שזוהי קבוצה קונפורמית, והיא מקסימלית. טענה 43: הלמה של צורן = משפט השוואת עוצמות (אם Y X, קבוצות, או Y X או.( Y X הוכחה. נסתכל על הקבוצה } Y f : A חח"ע X, F = {(A, f) : A עם יחס ההרחבה )) 2 (A 1, f 1 ) (A 2, f אם A 1 A 2 ו-.(f 2 A1 = f 1 זוהי קבוצה סדורה-חלקית. אם (A α, f α ) α I שרשרת, נגדיר f : A Y,A = α I A α על-ידי (x) f(x) = f α כאשר f.x A α מוגדרת היטב כי קיים α כך ש-,x A α ואם x A α, A β בה"כ f כמו-כן,.f β (x) = f α (x) ולכן,f β Aα = f α זו שרשרת) ולכן (כי (A α, f α ) (A β, f β ) חח"ע על,A כי אם,x 2 A β,x 1 A α,x 1, x 2 A בה"כ ) β (A α, f α ) (A β, f ולכן.f(x 1 ) = f β (x 1 ) f β (x 2 ) = f(x 2 ו-( x 1 A β הראינו.(A, f) F ברור ש-( f (A α, f α ) (A, לכל,α לכן, מהלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ) 0.(A 0, f אפשרות אחת:,A 0 = X ואז Y. X אחרת,,A 0 X ואז f 0 על: קיים על, נבחר ) 0,y 0 Y \ f 0 (A ונרחיב את f 0 ל- f 1 : A 0 {x 0 } Y ;x 0 X \ A 0 אם f 0 לא f 0 (x) x x 0 = (x) f 1.f 1 חח"ע, ו-(,(A 0, f 0 ) (A 0 {x 0 }, f 1 בסתירה על-ידי y 0 x = x 0 למקסימליות ) 0.(A 0, f לכן f 0 : A 0 Y על = X. Y משפט 44 (הסדר הטוב): אקסיומת הבחירה (= הלמה של צורן) = לכל קבוצה X קיים סדר טוב. הוכחה. נסתכל על קבוצת כל הזוגות (R,A) כך ש-( X ) A P ו- R סדר טוב על A, עם יחס הסדר (A 2, R 2 ) רישא של (A 1, R 1 או ש-( (A 1, R 1 ) = (A 2, R 2 אז או ש-( (A 1, R 1 ) (A 2, R 2 ) ) 2 R 1 R 2,A 1 A למעשה,.(R 2 (A 1 A 1 ) R 1 ) (, היא דוגמה לאיבר כזה, וכן ({(x,{x}),x)} עבור x. X קל לראות שזו קבוצה סדורה-חלקית. נניח ש- (A α, R α ) α I שרשרת, ונראה ש-( α α I A α, α I R ( חסם מלעיל. למה ) α A α, R ( קבוצה סדורה-חלקית? רפלקסיביות אם,x A α קיים α I כך ש- R α.x A α יחס-סדר חלקי, לכן.(x, x) R α = (x, x) R α 35